※式が長い箇所は横スライドで確認できます。
第Ⅰ問
問2
次の4次正方行列の行列式を求める．
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 & -5 \\
4 & 8 & 2 & -6 \\
-7 & -10 & -3 & 13\\
6 & 3 & 0 & 8
\end{pmatrix}
\end{align*}
余因子展開を用いて解く．3列目に0があるので，3列目を基準に余因子展開します．
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
3 & 4 & 1 & -5 \\
4 & 8 & 2 & -6 \\
-7 & -10 & -3 & 13\\
6 & 3 & 0 & 8
\end{vmatrix}
&= (-1)^{1+3}\cdot1\cdot\begin{vmatrix}
4 & 8 & -6 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 &8
\end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot2\cdot\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{3+3}\cdot-3\cdot\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
4 & 8 &-6 \\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
4 & 8 & -6 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 &8
\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
4 & 8 &-6 \\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}
\end{align*}
ここで，得られた3つの項についてもそれぞれ余因子展開をする．まず1つ目については，1列目を基準にすると，
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
4 & 8 & -6 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 &8
\end{vmatrix}
&=(-1)^{1+1}\cdot4\cdot\begin{vmatrix}
-10 & 13\\
3 &8
\end{vmatrix}+(-1)^{2+1}\cdot(-7)\cdot\begin{vmatrix}
8 & -6 \\
3 &8
\end{vmatrix}+(-1)^{3+1}\cdot6\cdot\begin{vmatrix}
8 & -6 \\
-10 & 13\\
\end{vmatrix}\\
&=4\cdot(-10\cdot8-13\cdot3)
+7\cdot(64+18)
+6\cdot(8\cdot13-60)= 362
\end{align*}
となります．同様に2つ目について1列目を基準に余因子展開します．
\begin{align*}
-2\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}&=-2\{(-1)^{1+1}\cdot3\cdot\begin{vmatrix}
-10 & 13 \\
3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{2+1}\cdot(-7)\cdot\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{3+1}\cdot6\cdot\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
-10 & 13
\end{vmatrix}
\} \\
&= 32
\end{align*}
3つ目についても，1列目を基準に余因子展開すると，
\begin{align*}
-3\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
4 & 8 &-6 \\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix} &= -3\{-2\{(-1)^{1+1}\cdot3\cdot\begin{vmatrix}
8 & -6 \\
3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{2+1}\cdot4\cdot\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{3+1}\cdot6\cdot\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
8 & -6
\end{vmatrix}\} \\
&= -462
\end{align*}
よって，求める逆行列は，
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
3 & 4 & 1 & -5 \\
4 & 8 & 2 & -6 \\
-7 & -10 & -3 & 13\\
6 & 3 & 0 & 8
\end{vmatrix} = 363 + 32 – 462 = -68
\end{align*}
となります.
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 & -5 \\
4 & 8 & 2 & -6 \\
-7 & -10 & -3 & 13\\
6 & 3 & 0 & 8
\end{pmatrix}
\end{align*}
余因子展開を用いて解く．3列目に0があるので，3列目を基準に余因子展開します．
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
3 & 4 & 1 & -5 \\
4 & 8 & 2 & -6 \\
-7 & -10 & -3 & 13\\
6 & 3 & 0 & 8
\end{vmatrix}
&= (-1)^{1+3}\cdot1\cdot\begin{vmatrix}
4 & 8 & -6 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 &8
\end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot2\cdot\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{3+3}\cdot-3\cdot\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
4 & 8 &-6 \\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
4 & 8 & -6 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 &8
\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
4 & 8 &-6 \\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}
\end{align*}
ここで，得られた3つの項についてもそれぞれ余因子展開をする．まず1つ目については，1列目を基準にすると，
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
4 & 8 & -6 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 &8
\end{vmatrix}
&=(-1)^{1+1}\cdot4\cdot\begin{vmatrix}
-10 & 13\\
3 &8
\end{vmatrix}+(-1)^{2+1}\cdot(-7)\cdot\begin{vmatrix}
8 & -6 \\
3 &8
\end{vmatrix}+(-1)^{3+1}\cdot6\cdot\begin{vmatrix}
8 & -6 \\
-10 & 13\\
\end{vmatrix}\\
&=4\cdot(-10\cdot8-13\cdot3)
+7\cdot(64+18)
+6\cdot(8\cdot13-60)= 362
\end{align*}
となります．同様に2つ目について1列目を基準に余因子展開します．
\begin{align*}
-2\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
-7 & -10 & 13\\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix}&=-2\{(-1)^{1+1}\cdot3\cdot\begin{vmatrix}
-10 & 13 \\
3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{2+1}\cdot(-7)\cdot\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{3+1}\cdot6\cdot\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
-10 & 13
\end{vmatrix}
\} \\
&= 32
\end{align*}
3つ目についても，1列目を基準に余因子展開すると，
\begin{align*}
-3\begin{vmatrix}
3 & 4 & -5 \\
4 & 8 &-6 \\
6 & 3 & 8
\end{vmatrix} &= -3\{-2\{(-1)^{1+1}\cdot3\cdot\begin{vmatrix}
8 & -6 \\
3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{2+1}\cdot4\cdot\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
3 & 8
\end{vmatrix}
+(-1)^{3+1}\cdot6\cdot\begin{vmatrix}
4 & -5 \\
8 & -6
\end{vmatrix}\} \\
&= -462
\end{align*}
よって，求める逆行列は，
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
3 & 4 & 1 & -5 \\
4 & 8 & 2 & -6 \\
-7 & -10 & -3 & 13\\
6 & 3 & 0 & 8
\end{vmatrix} = 363 + 32 – 462 = -68
\end{align*}
となります.