問3
行列$A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 4
\end{pmatrix}$について，$A^n(n=1,2,\cdots)$を求めましょう．\
まず，Aを対角化する．つまり，$D=P^{-1}AP$となる正則行列P，対角行列Dを求めます．\
固有方程式より固有値は，
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1-\lambda & 2\\
2 & 4-\lambda
\end{vmatrix}&=0\\
(1-\lambda)(4-\lambda)-4 &= 0\\
\lambda^2-5\lambda&=0\\
\lambda(\lambda-5)&=0\\
\lambda = 0,5
\end{align*}
となります．よって，$\lambda=0$に対応する固有ベクトルの1つは，$\begin{pmatrix}
1\\
-2
\end{pmatrix}$である．また，$\lambda=5$に対応する固有ベクトルの1つは，$\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}$である．よって，$P=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}$と置く．これより，$P^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}$となります．よって，
\begin{align*}
D &= P^{-1}AP\\
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2-2 & 4-4\\
2+2 & 4+4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
0 & 0\\
4 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
0 & 0\\
-4 & 12
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
0 & 0\\
-1 & 3
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります．ここで，$A = PDP^{-1}$より，これをn乗すると，
\begin{align*}
A^n &= (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1})\\
&= PDD\cdots DP^{-1}\\
&= PD^nP^{-1}\\
&= \begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 0\\
-1 & 3
\end{pmatrix}^n\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
-1^n & 3^n\\
2\cdot-1^n & 2\cdot3^n
\end{pmatrix}\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2(-1^n+3^n) & -1^{n+1}+3^n \\
4(-1^n+3^n) & 2(-1^{n+1}+3^n)
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります．
1 & 2\\
2 & 4
\end{pmatrix}$について，$A^n(n=1,2,\cdots)$を求めましょう．\
まず，Aを対角化する．つまり，$D=P^{-1}AP$となる正則行列P，対角行列Dを求めます．\
固有方程式より固有値は，
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1-\lambda & 2\\
2 & 4-\lambda
\end{vmatrix}&=0\\
(1-\lambda)(4-\lambda)-4 &= 0\\
\lambda^2-5\lambda&=0\\
\lambda(\lambda-5)&=0\\
\lambda = 0,5
\end{align*}
となります．よって，$\lambda=0$に対応する固有ベクトルの1つは，$\begin{pmatrix}
1\\
-2
\end{pmatrix}$である．また，$\lambda=5$に対応する固有ベクトルの1つは，$\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}$である．よって，$P=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}$と置く．これより，$P^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}$となります．よって，
\begin{align*}
D &= P^{-1}AP\\
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2\\
2 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2-2 & 4-4\\
2+2 & 4+4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
0 & 0\\
4 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
0 & 0\\
-4 & 12
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
0 & 0\\
-1 & 3
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります．ここで，$A = PDP^{-1}$より，これをn乗すると，
\begin{align*}
A^n &= (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1})\\
&= PDD\cdots DP^{-1}\\
&= PD^nP^{-1}\\
&= \begin{pmatrix}
1 & 1\\
-2 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 0\\
-1 & 3
\end{pmatrix}^n\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
-1^n & 3^n\\
2\cdot-1^n & 2\cdot3^n
\end{pmatrix}\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}\\
&= \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
2(-1^n+3^n) & -1^{n+1}+3^n \\
4(-1^n+3^n) & 2(-1^{n+1}+3^n)
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります．