【神戸大学経済学部】2022年度(2021年実施)編入試験 – 解答、経済学第2問

\begin{align}
\text{賃金×労働時間} &= \text{財の消費量×財の価格}\\
w(24-l) &= C
\end{align}
となります．(2)労働者は次の効用最大化問題を解きます．
\begin{align}
\text{max}_{l,C} \frac{2}{3}\log l+\frac{1}{3}\log C\quad \text{s.t.}\quad C=w(24-l)
\end{align}
ラグランジュ乗数を$\lambda$とすると，ラグランジュ関数$L$は，
\begin{align}
L = \frac{2}{3}\log l+\frac{1}{3}\log C +\lambda\{C-w(24-l)\}
\end{align}
となります．最大化の1階条件より，
\begin{align}
\label{lagrange}
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial l} &= \frac{2}{3l} + \lambda w = 0\\
\frac{\partial L}{\partial C} &= \frac{1}{3C} + \lambda = 0\\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} &= C-w(24-l) = 0
\end{aligned}
\end{align}
を得ます．上記式から$\lambda$を消去する（第1式を第2式で割る）と，\begin{align}
\begin{aligned}
\frac{2/3l}{1/3C} &= \frac{\lambda w}{\lambda} \\
\frac{2C}{l} &= w
\end{aligned}
\end{align}を得ます．これもまた上記の第３式に代入すると，
\begin{align}
\begin{aligned}
w(24-l) &= C\\
\frac{2C}{l}(24-l) &= C\\
\frac{2}{l}(24-l) &= 1\\
24-l &= \frac{l}{2}\\
\frac{3}{2}l &= 24\\
l &= 16
\end{aligned}
\end{align}
よって，最適な余暇時間は16時間．最適な労働時間は$24-16 = 8$時間です．

(3)労働所得税率$\tau$によって，($\tau*\text{所得}$)だけ所得税として
政府に徴収されるので，労働者の新たな所得は$(1-\tau)w(24-l)$であす．よって，予算制約式は，
\begin{align}
C = (1-\tau)w(24-l)
\end{align}
です．

(4)このとき，労働者は次の効用最大化問題を解きます．
\begin{align}
\text{max}_{l,C} \frac{2}{3}\log l+\frac{1}{3}\log C\quad \text{s.t.}\quad C=(1-\tau)w(24-l)
\end{align}
ラグランジュ乗数を$\lambda$とすると，ラグランジュ関数$L$は，
\begin{align}
L = \frac{2}{3}\log l+\frac{1}{3}\log C +\lambda\{C-(1-\tau)w(24-l)\}
\end{align}
となります．最大化の1階条件より，
\begin{align}
\label{lagrange2}
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial l} &= \frac{2}{3l} + \lambda (1-\tau)w = 0\\
\frac{\partial L}{\partial C} &= \frac{1}{3C} + \lambda = 0\\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} &= C-(1-\tau)w(24-l) = 0
\end{aligned}
\end{align}
を得る．(2)と同様に，上記式から$\lambda$を消去する（第1式を第2式で割る）と，

\begin{align}
\begin{aligned}
\frac{2/3l}{1/3C} &= \frac{\lambda (1-\tau)w}{\lambda} \\
\frac{2C}{l} &= (1-\tau)w\\
w &= \frac{1}{1-\tau}\frac{2C}{l}
\end{aligned}
\end{align}
を得ます．ここで得たを式を上記の第３式に代入すると，

\begin{align}
\begin{aligned}
(1-\tau)w(24-l) &= C\\
(1-\tau)\frac{1}{1-\tau}\frac{2C}{l}(24-l) &= C\\
\frac{2C}{l}(24-l) &= C
\frac{2}{l}(24-l) &= 1\\
24-l &= \frac{l}{2}\\
\frac{3}{2}l &= 24\\
l &= 16
\end{aligned}
\end{align}