第１問
(1)$f(x)=\log(1+x)$より，
\begin{align}
\begin{aligned}
f^{(1)}(x) &= \frac{1}{1+x}\\
f^{(2)}(x) &= -\frac{1}{(1+x)^2}\\
f^{(3)}(x) &= \frac{2}{(1+x)^3}\\
f^{(4)}(x) &= -\frac{6}{(1+x)^4}\\
\vdots \\
f^{(n)}(x) &= (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}
\end{aligned}
\end{align}
となります。
\begin{align}
\begin{aligned}
f^{(1)}(x) &= \frac{1}{1+x}\\
f^{(2)}(x) &= -\frac{1}{(1+x)^2}\\
f^{(3)}(x) &= \frac{2}{(1+x)^3}\\
f^{(4)}(x) &= -\frac{6}{(1+x)^4}\\
\vdots \\
f^{(n)}(x) &= (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}
\end{aligned}
\end{align}
となります。
(2)f(x)に関するマクローリン展開の定義より，
\begin{align}
\begin{aligned}
f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}\\
f(x) &= f(0) + f^{(1)}(0)x + f^{(2)}(0)\frac{x^2}{2!} + f^{(3)}(0)\frac{x^3}{3!} + \cdots \\
f(x) &= \log1 + f^{(1)}(0)x + f^{(2)}(0)\frac{x^2}{2!} + f^{(3)}(0)\frac{x^3}{3!} + \cdots
\end{aligned}
\end{align}
となる．$\log1=0$かつ，$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$より，f(x)のマクローリン展開は，
\begin{align}
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}
\end{align}
となります。