問題1
(1)消費者は次の効用最大化問題を解きます．
\begin{align}
\begin{aligned}
\text{max}_{x_1,x_2}\quad x_1^2x_2\quad \text{s.t}\quad p_1x_1+p_2x_2=I \quad\quad(1)
\end{aligned}
\end{align}
ラグランジュ乗数を$\lambda$，ラグランジュ関数をLとすると，
\begin{align}
\begin{aligned}
L = x_1^2x_2 + \lambda (I-p_1x_1+p_2x_2)\quad\quad(2)
\end{aligned}
\end{align}
となる．最大化の一階条件は以下の通りとなります．
\begin{align}
\frac{\partial L}{\partial x_1}&=2x_1x_2-\lambda p_1=0\quad\quad(3)\\
\frac{\partial L}{\partial x_2}&=x_1^2-\lambda p_2=0\quad\quad(4)\\
\frac{\partial L}{\partial \lambda}&=I-p_1x_1+p_2x_2=0\quad\quad(5)
\end{align}
式(3)と式(4)より，$\lambda$を消去すると，
\begin{align}
\begin{aligned}
\frac{2x_1x_2}{x_1^2}&=\frac{p_1}{p_2}\\
\frac{2x_2}{x_1}&=\frac{p_1}{p_2}\\
x_2&=\frac{x_1}{2}\frac{p_1}{p_2}\quad\quad(6)
\end{aligned}
\end{align}
となります．を式(5)に代入して，
\begin{align}
\begin{aligned}
I &= p_1x_1+p_2\frac{x_1}{2}\frac{p_1}{p_2}\\
I &= p_1x_1+\frac{p_1x_1}{2}\\
I &= \frac{3}{2}p_1x_1\\
x_1 &= \frac{2I}{3p_1}\quad\quad(7)
\end{aligned}
\end{align}
$x_1$の需要量が求まります．これを式(5)に代入することで，
\begin{align}
\begin{aligned}
x_2 = \frac{p_1}{2p_2}\frac{2I}{3p_1} = \frac{I}{3p_2}\quad\quad(8)
\end{aligned}
\end{align}
$x_2$の需要量が求まります．
以上より，$(x_1^*,x_2^*)=(\frac{2I}{3p_1},\frac{I}{3p_2})$となります．\\\\
(2)需要の価格弾力性の定義より，
\begin{align}
\begin{aligned}
\epsilon_{p_1}=-\frac{dx_1}{dp_1}\frac{p_1}{x_1}=\frac{2I}{3p_1^2}\frac{3p_1^2}{2I}=1\quad\quad(９)
\end{aligned}
\end{align}
となります．
(3)新しい効用関数のもとでも同じ需要量になることを示す．もとの関数を単調増加させたものなので結果は同じです．
消費者は次の効用最大化問題を解きます．
\begin{align}
\begin{aligned}
\text{max}_{x_1,x_2}\quad 2\log x_1+\log x_2\quad \text{s.t}\quad p_1x_1+p_2x_2=I\quad\quad(10)
\end{aligned}
\end{align}
ラグランジュ乗数を$\lambda$，ラグランジュ関数をLとすると，
\begin{align}
\begin{aligned}
L = 2\log x_1+\log x_2 + \lambda (I-p_1x_1+p_2x_2)\quad\quad(11)
\end{aligned}
\end{align}
となる．最大化の一階条件は以下の通りとなります．
\begin{align}
\frac{\partial L}{\partial x_1}&=\frac{2}{x_1}-\lambda p_1=0\quad\quad(12)\\
\frac{\partial L}{\partial x_2}&=\frac{1}{x_2}-\lambda p_2=0\quad\quad(13)\\
\frac{\partial L}{\partial \lambda}&=I-p_1x_1+p_2x_2=0\quad\quad(14)
\end{align}
式(3)と式(4)より，$\lambda$を消去すると，
\begin{align}
\label{MRS}
\begin{aligned}
\frac{\frac{2}{x_1}}{\frac{1}{x_2}}&=\frac{p_1}{p_2}\\
\frac{2x_2}{x_1}&=\frac{p_1}{p_2}\\
x_2&=\frac{x_1}{2}\frac{p_1}{p_2}\quad\quad(15)
\end{aligned}
\end{align}
となります．式(5)に代入して，
\begin{align}
\begin{aligned}
I &= p_1x_1+p_2\frac{x_1}{2}\frac{p_1}{p_2}\\
I &= p_1x_1+\frac{p_1x_1}{2}\\
I &= \frac{3}{2}p_1x_1\\
x_1 &= \frac{2I}{3p_1}\quad\quad(16)
\end{aligned}
\end{align}
$x_1$の需要量が求まります．これを式(5)に代入することで，
\begin{align}
\begin{aligned}
x_2 = \frac{p_1}{2p_2}\frac{2I}{3p_1} = \frac{I}{3p_2}\quad\quad(17)
\end{aligned}
\end{align}
$x_2$の需要量が求まります．
以上より，$(x_1^*,x_2^*)=(\frac{2I}{3p_1},\frac{I}{3p_2})$となるので，同じ最適消費計画が実現されます．