問題3
(a)民間消費関数に租税関数を代入して，
\begin{align}
\begin{aligned}
C=c_0+c_1(Y_t0-t_1Y)\quad\quad(20)
\end{aligned}
\end{align}
となる．Y=0のとき，$C=c_0-c_1t_0$となる．よって，$c_0-c_1t_0$は所得が0のときの民間消費です．
(b)財市場の均衡条件より，
\begin{align}
\begin{aligned}
Y &= C + I + G\\
Y &= c_0+c_1(Y_t0-t_1Y) + I + G\\
(1-c_1+c_1t_1)Y &= c_0 -c_1t_0 + I + G\\
Y &= \frac{c_0-c_1t_0+I+G}{1-c_1(1-t_1)}\quad\quad(21)
\end{aligned}
\end{align}
よって，
\begin{align}
\begin{aligned}
\frac{dY^*}{dt_1}= -c_1\frac{c_0-c_1t_0+I+G}{\{1-c_1(1-t_1)\}^2}\quad\quad(22)
\end{aligned}
\end{align}
(c)$Y^* = \frac{c_0-c_1t_0+I+G}{1-c_1(1-t_1)}$より，
\begin{align}
\frac{dY^*}{dt_0}=\frac{-c_1}{1-c_1(1-t_1)}\quad\quad(23)
\end{align}
(d)税額$t_0$に関して引き下げをされていることから，$\frac{dY^*}{dt_0}<0$となる．ここで，
\begin{align}
\begin{aligned}
\frac{dt_0}{dt_1}&=-\frac{\frac{dY^*}{dt_1}}{\frac{dY^*}{dt_0}}\\
&= \frac{-c_1\frac{c_0-c_1t_0+I+G}{\{1-c_1(1-t_1)\}^2}}{\frac{-c_1}{1-c_1(1-t_1)}}\\
&= -\frac{c_0-c_1t_0+I+G}{1-c_1(1-t_1)}\quad\quad(24)
\end{aligned}
\end{align}
となります．
符号を確認する．分母について，$0<c_1<1,0<t_1<1$より分母の符号は正．分子について，$c_0-c_1t_0>0$より正．よって，全体としての符号は負です.
(e)財市場の均衡より，$Y=C+I+G$であるが，(d)の政策は，均衡所得$Y^*$を一定に保つ政策であり，$dG=0$であることから，均衡民間消費$C^*$も変化しません．
(f)$T=t_0+t_1Y$であるが，同じく均衡所得$Y^*$を一定に保つ政策なので，均衡税収$T^*$も変化しません．
(g)貯蓄Sは可処分所得(Y-T)から民間消費(C)を差し引いた形で定義される．(d)の政策では，可処分所得も民間消費も変化しないので均衡民間貯蓄$S^*$も同じく変化しません．