問題２
(1)均衡では，労働供給量$L^s=w$と労働需要量Lが等しくなることを利用します．問題の設定より，企業の利潤$\pi$は，
\begin{align}
\pi = L-\frac{1}{2}L^2-wL = L-\frac{1}{2}L^2-L^2\quad\quad(4)
\end{align}
となります．利潤最大化の一階条件より，
\begin{align}
\frac{\partial \pi}{\partial L} = 1-L-2L=0 \Leftrightarrow L=\frac{1}{3}\quad\quad(5)
\end{align}
となります．よって，均衡における雇用量と賃金は，共に$\frac{1}{3}$です．
\begin{align}
\pi = L-\frac{1}{2}L^2-wL = L-\frac{1}{2}L^2-L^2\quad\quad(4)
\end{align}
となります．利潤最大化の一階条件より，
\begin{align}
\frac{\partial \pi}{\partial L} = 1-L-2L=0 \Leftrightarrow L=\frac{1}{3}\quad\quad(5)
\end{align}
となります．よって，均衡における雇用量と賃金は，共に$\frac{1}{3}$です．
(2)考えている労働市場では買い手独占なので，企業は労働需要関数を限界収入曲線として考えることができます．つまり，
\begin{align}
L^D = MR = \frac{d(L-\frac{1}{2}L^2)}{dL}=1-L\quad\quad(6)
\end{align}
となる．また，限界費用MCは，
\begin{align}
MC = \frac{dC}{dL}=\frac{dL^2}{dL}=2L\quad\quad(7)
\end{align}となる．これらを，横軸に労働投入量，縦軸に賃金をとって作図してみると，
となります．このとき，$L^{**}$までは失業を生むことなく，(1)で求めた水準よりも雇用を増やすことができます．この点は，
\begin{align}
L^S = L^D \Leftrightarrow L = 1-L \Leftrightarrow L=\frac{1}{2}\quad\quad(8)
\end{align}
となります．よって，失業を生むことなく，(1)で求めた水準よりも雇用を増やすことができる賃金の範囲は，
\begin{align}
\frac{1}{3} < w \leq \frac{1}{2}\quad\quad(9)
\end{align}
となります．