問題１
1. 効用関数にyが含まれていないことに注意して，消費者は次の効用最大化問題を解きます．
\begin{equation*}
\text{max}_{x,z}\quad \frac{1}{3}\log x + \log z\quad\text{s.t.}\quad x+3z = 20
\end{equation*}
予算制約式より，$x = 20-3z$を得るので，$u_1$に代入することで，効用最大化問題は次のように書き換えることができます．
\begin{equation*}
\text{max}_{z}\quad \frac{1}{3}\log(20-3z)+ \log z
\end{equation*}
最大化の一階条件より，
\begin{align*}
\frac{\partial \frac{1}{3}\log(20-3z)+ \log z}{\partial z} = \frac{1}{3}\frac{-3}{20-3z} +\frac{1}{z} = 0\\
\Leftrightarrow z = 20-3z \Leftrightarrow z = 5
\end{align*}
を得ます．これを，$x = 20-3z$に代入すると，$x = 5$となるので最適消費量は，$(x^*,y^*,z^*)=(5,0,5)$となります．
2. レオンチェフ型効用関数では，効用最大化の条件として，
$z = x+y$が成り立つ必要があります．
また，効用関数をよく見てみると消費者にとって$x$と$y$の価値が同じであることがわかります．
今，$p_x=1$かつ$p_y=2$が仮定されているので，消費者はわざわざ$y$を買う必要はありません．
よって，$y=0$とわかります．これらの得られた条件を予算制約式に代入すると，
\begin{equation*}
x + 3x = 20 \Leftrightarrow x = 5,z = 5
\end{equation*}
となります．よって，$(x^*,y^*,z^*)=(5,0,5)$．
3. $u_1$と$u_2$は同じ選好を表現しているとは言えません．
いま，消費集合をXとします．
この時，効用関数$u$が選好$\succsim$を表現するとは，
任意の財ベクトル$x,y\in X$について，
\begin{equation*}
u(x) \ge u(y)\Leftrightarrow x\succsim y
\end{equation*}
を満たすときをいいます．例えば，財ベクトル$x,y$をそれぞれ，
$x=(x,y,z)=(0,1,0),y=(2,0,0)$とします．
このとき，それぞれの財ベクトルに対する$u_1$と$u_2$の効用は，
\begin{align*}
u_1(x) &= 0\\
u_1(y) &= \frac{\log 2}{3}\\
u_2(x) &= 0\\
u_2(y) &= 0\\
\end{align*}
となります．$u_1$については，$y \succ x$ですが，
$u_2$については$x \sim y$で無差別です．
よって，この2つの効用関数は
同じ選好を表現しているとは言えないことがわかりました．