問題２
1. 戦略の組の集合を$S=S_A\times S_B$とし，
プレイヤー$i$が戦略空間から選択する戦略を$s_i\in S_i$とします．
このとき，ある戦略の組$s^*\in S$が，全ての$i = A,B$と全ての$s_i \in S_i$について，
\begin{equation*}
u_i(s_i^*,s_{j}^*) \ge u_i(s_i,s_{j}^*) \quad i\ne j
\end{equation*}
を満たすとき，$s^*$をナッシュ均衡といいます．
2. $\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$はナッシュ均衡ではありません．
プレイヤーAにとって，$\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$によって得られる利得は，
\begin{equation*}
u_A\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{2}a-\frac{1}{2}\frac{a}{2} = \frac{a}{4}
\end{equation*}
になります．このとき，プレイヤーAは$s_A = \{s_A\in S_A | a \ge s_A > \frac{1}{2}\}$
を選ぶことで利得を上げることができます．
このことは，例えば，$s_A=a$とするとこの時の利得は
\begin{equation*}
u_A\left(a,\frac{a}{2}\right) = a-\frac{a}{2} = \frac{a}{2} > \frac{a}{4}
\end{equation*}
となることから確認できます．これは，プレイヤーBにとっても同様です．
3. $(a,a)$はナッシュ均衡です．
この戦略の組み合わせのとき，
各プレイヤーは戦略を変更することで利得を改善することができません．
例えば，プレイヤーAが戦略を変えようとしているとします．
つまり，$s_A = \{s_A\in S_A| a > s_A \ge 0\}$として新しい戦略を選んだとすると，
$s_A < s_B$より利得が$0$になってしまいます．
これはプレイヤーBについても同様なので，
各プレイヤーは戦略を変更するインセンティブを持ちません．
よって，戦略の組$(a,a)$はナッシュ均衡です．
4. 支配戦略均衡は存在します．
（弱支配戦略なのか強支配戦略なのかについて，問題に言及がないため強支配戦略を考えていると仮定します）
$s_i^*$がプレイヤー$i$の強支配戦略であるとは，
ある戦略$s_i^*\in S_i$が存在して，
全ての$s_i’\in S_i \setminus \{s_i^*\}$と全ての$s_{-i}\in S_{-i}$
について， \begin{equation*} u_i(s_i^*,s_{-i}) > u_i(s_i’,s_{-i})
\end{equation*}
を満たすときをいいます．これはつまり，他人が何をしようが，
プレイヤー$i$にとっては$s_i^*$を取るのが常に最適であるような状況を指します．
この問題では，プレイヤーAは常に$s_A=a$とするのが最適です．
これはプレイヤーBにとっても同様なので，支配戦略均衡は$(a,a)$です．
この問題は，第二価格封印オークションに関する問題です．