逆関数
逆関数は、ある関数の関係を逆にしたものです。変数\(x\)が1つだけの関数に限定した場合、\(y\)が\(x\)の関数であるとします。
\[ y = f(x) \]
このとき、逆関数では\(x\)が\(y\)の関数になります。
\[ x = g(y) \]
異なる関数について話していることを示すために、文字\(g\)を使用します。
例えば、関数が\(x\)を2倍して3を加える操作を表している場合、この関数を数式で表すと\(y = 2x + 3\)です。この関数の逆関数を見つけることは、\(y\)から\(x\)を求める式を見つけ出すことを意味します。つまり、\(y\)に何かしらの操作を施して、その結果として\(x\)が得られるような関数を探すのです。
このプロセスは、元の関数が入力\(x\)に対してどのように\(y\)を生成するかの逆の操作を見つけることに相当します。逆関数を見つけることができれば、ある出力\(y\)が与えられたときに、それを生成するためにどの入力\(x\)が必要だったのかを知ることができます。
例1
具体例として、もとの関数が
\[ y = 2 + 3x \]
である場合、この関数の逆関数を見つける手順は次の通りです。
まず、式を\(x\)について解きます。
\[
\begin{aligned}
y {-} 2 &= 3x \\
\frac{y {-} 2}{3} &= x
\end{aligned}
\]
したがって、逆関数は
\[ x = \frac{y {-} 2}{3} \]
となります。
すべての関数が逆関数を持つわけではありません。関数が対応する逆関数を持つための数学的条件は、もとの関数が「単調」であることが必要です。これは、独立変数\(x\)の値が増加するにつれて、従属変数\(y\)の値が常に増加するか、または常に減少することを意味します。
逆関数と単調性
関数\(y = 16x {-} x^2\)を、定義域\(0 \leq x \leq 16\)に限定して考えると、\(x\)の各値は一意の\(y\)の値を決定しますが、\(y\)のいくつかの値は\(x\)の2つの値に対応します。例えば、
\[
\begin{align*}
\text{もし } x=4 \text{ ならば } y=64{-}16=48, \\
\text{もし } x=12 \text{ ならば } y=192{-}144=48.
\end{align*}
\]
この性質は、関数\(y = 16x – x^2\)が単調ではないために発生します。\(x\)の特定の値に対して\(y\)を計算することで、\(y\)の値が最初は増加し、その後減少することが確認できます。
| \(x\) | 1 | 3 | 4 | 8 | 12 | 13 | 15 |
| \(y\) | 15 | 39 | 48 | 64 | 48 | 39 | 15 |
この非単調性は、逆関数が存在しないことを意味します。
経済学や他の実践的なデータを扱う際、関数の逆を求めることができたとしても、それが常に実際の状況を適切に反映しているとは限りません。例えば、正方形の面積\(A\)をその一辺の長さ\(L\)で表すとき、\(A = L^2\)という関係が成り立ちます。
この場合、面積から辺の長さを求める逆関数\(L = A^{0.5}\)（ここで\(L\)は0以上とします）を導出することは数学的に正しいです。しかし、海外旅行にかかる費用\(H\)が平均年収\(M\)によって\(H = 0.01M + 100\)（\(M \geq ¥10,000\)）と表される場合、この関係式を逆にして\(M = 100H – 10,000\)と表すことは可能ですが、これが意味するのは、旅行費用が年収を決めるということであり、これは現実にはあり得ません。
また、経済モデルでは因果関係が一方的だとは限りません。例えば、独占市場では企業が製品の価格を決め、それに応じて消費者の購入量が決まります。この場合、購入量\(Q\)は価格\(P\)によって決まると表せます（\(Q = f(P)\)）。
しかし、競争が激しい市場では、企業はまずどれだけの量を生産するかを決め、それに基づいて市場での価格が決定されます。つまり、この場合は価格\(P\)が生産量\(Q\)によって決定されるのです（\(P = f(Q)\)）。このように、経済の状況によっては、逆関数の概念が直接適用できない場合もあります。
逆需要関数の導出
経済学では逆需要関数という関数があります。価格を独立変数として、その価格に対応する需要量を示す関数のことです。通常の需要関数が価格の関数として需要量を示すのに対し、逆需要関数はその逆で、ある価格で消費者が購入しようとする商品の量を示します。
具体的には、逆需要関数は価格（P）から需要量（Q）を導く関数です。これは、市場での商品価格の変化が需要量にどのように影響するかを理解するのに役立ちます。例えば、逆需要関数が与えられると、特定の価格で市場がどの程度の商品を要求するかを知ることができます。
この関数は、価格が上がると需要が減少する（一般的には負の傾向がある）という需要の法則を反映しています。逆需要関数は、市場分析や価格設定の戦略を立てる際に重要な役割を果たします。たとえば、企業が最適な価格点を見つけたい場合や、政策立案者が税金や補助金が市場にどのように影響するかを評価したい場合などに使用されます。
一例を与えます。
与えられた需要関数が
\[ Q = 150 {-} 3P \]
である場合、この関数から価格\(P\)を求める逆需要関数を導き出すことができます。解法は次のようになります：
\[
\begin{aligned}
Q &= 150 {-} 3P, \\
3P &= 150 {-} Q, \\
P &= 50 {-} \frac{Q}{3}.
\end{aligned}
\]
したがって、逆需要関数は
\[ P = 50 {-} \frac{Q}{3} \]
となります。
この逆関数は、ある特定の需要量\(Q\)が与えられたときに、その需要を満たすために設定すべき価格\(P\)を示します。元の需要関数では価格\(P\)が需要\(Q\)にどのように影響を与えるかが示されていますが、逆関数ではその逆の関係、すなわち需要\(Q\)から価格\(P\)を求めることができます。