問題:
ある学校において、生徒たちは数学と英語の授業を受けています。学校のデータによると、以下の情報があります。
– 生徒の70%が数学の授業を受けています。
– 生徒の40%が英語の授業を受けています。
– 生徒の30%が数学と英語の両方の授業を受けています。
ある生徒がランダムに選ばれたとき、その生徒が数学の授業を受けている条件のもとで、英語の授業も受けている確率はどれくらいでしょうか？
解答：
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
ここで、
– \( P(A|B) \) は「Bが起こったときのAの確率」です。
– \( P(A \cap B) \) は「AとBが同時に起こる確率」です。
– \( P(B) \) は「Bの確率」です。
この問題では、
– イベントAは「生徒が英語の授業を受けている」ことを指し、
– イベントBは「生徒が数学の授業を受けている」ことを指します。
与えられた情報によると、
– \( P(\text{数学}) = 0.70 \)（70%の生徒が数学の授業を受けている）
– \( P(\text{英語}) = 0.40 \)（40%の生徒が英語の授業を受けている）
– \( P(\text{数学} \cap \text{英語}) = 0.30 \)（30%の生徒が数学と英語の両方の授業を受けている）
求めるべきは「数学の授業を受けている生徒が英語の授業も受けている確率」、つまり \( P(\text{英語}|\text{数学}) \) です。この確率を計算するには、次のように式を展開します：
\[ P(\text{英語}|\text{数学}) = \frac{P(\text{数学} \cap \text{英語})}{P(\text{数学})} \]
これを先ほどの確率値を用いて計算すると、
\[ P(\text{英語}|\text{数学}) = \frac{0.30}{0.70} \approx 0.4286 \]
したがって、数学の授業を受けている条件のもとで、生徒が英語の授業も受けている確率は約42.86%となります。