効用最大をする条件は、限界効用と価格の比率が等しい時が最適消費計画となります。この条件は、各財についての限界効用 \(MU\) をそれぞれの財の価格 \(P\) で割った値が等しくなるべきであることを示しています。
まず、各財の限界効用を求めます。与えられた効用関数は次の通りです。
・第1財の効用: \( U_1 = x_1^{1/2} \)
・第2財の効用: \( U_2 = 2x_2^{1/2} \)
これらの効用関数から限界効用を計算すると、
\( MU_1 = \frac{dU_1}{dx_1} = \frac{1}{2}x_1^{-1/2} \)
\( MU_2 = \frac{dU_2}{dx_2} = 2 \times \frac{1}{2}x_2^{-1/2} = x_2^{-1/2} \)
これらの式は、効用関数 \( U \) の各変数 \( x_1 \) および \( x_2 \) に対する限界効用（Marginal Utility、MU）を示しています。効用関数 \( U \) とは、消費者の満足度を表す関数です。
1.\( MU_1 = \frac{dU_1}{dx_1} = \frac{1}{2}x_1^{-1/2} \)
まず、効用関数 \( U \) が \( x_1 \) の関数であると仮定しましょう。
効用関数の仮定:
例えば、 \( U(x_1) = x_1^{1/2} \) と仮定します。
微分:
効用関数を \( x_1 \) に関して微分します。これは限界効用を求める操作です。
\[
\frac{dU}{dx_1} = \frac{d}{dx_1}(x_1^{1/2})
\]
指数法則の適用:
微分のルールによって、指数関数の微分を行います。
\[
\frac{d}{dx_1}(x_1^{1/2}) = \frac{1}{2}x_1^{(1/2) – 1} = \frac{1}{2}x_1^{-1/2}
\]
2. \( MU_2 = \frac{dU_2}{dx_2} = 2 \times \frac{1}{2}x_2^{-1/2} = x_2^{-1/2} \)
次に、効用関数 \( U \) が \( x_2 \) の関数であると仮定しましょう。
効用関数の仮定:
例えば、 \( U(x_2) = 2 \times x_2^{1/2} \) と仮定します。
微分:
効用関数を \( x_2 \) に関して微分します。
\[
\frac{dU}{dx_2} = \frac{d}{dx_2}(2 \times x_2^{1/2})
\]
定数の外への移動:
定数 \( 2 \) は微分操作の外に出せます。
\[
\frac{d}{dx_2}(2 \times x_2^{1/2}) = 2 \times \frac{d}{dx_2}(x_2^{1/2})
\]
指数法則の適用:
微分のルールに従って、指数関数の微分を行います。
\[
\frac{d}{dx_2}(x_2^{1/2}) = \frac{1}{2}x_2^{(1/2) – 1} = \frac{1}{2}x_2^{-1/2}
\]
定数の掛け算:
微分した結果に定数 \( 2 \) を掛けます。
\[
2 \times \frac{1}{2}x_2^{-1/2} = x_2^{-1/2}
\]
これで、両方の限界効用 \( MU_1 \) と \( MU_2 \) の式展開が説明されました。それぞれ、効用関数の微分を行い、指数法則を適用して得られた結果です。
これらの限界効用に、各財の価格を割ると、
\( \frac{MU_1}{P_1} = \frac{1}{2}x_1^{-1/2} \)
\( \frac{MU_2}{P_2} = x_2^{-1/2} \)
最適消費計画では、これらの比率が等しい必要があります。つまり、
\[ \frac{1}{2}x_1^{-1/2} = x_2^{-1/2} \]
この等式を解いて \( x_1 \) と \( x_2 \) の関係を見つけます。それには、両辺を2乗してから整理しましょう。
得られた関係 \( x_1 = 0.25x_2 \) を用いて、予算制約 \( x_1 + x_2 = 180 \) に代入して \( x_2 \) を求めます。
求めた \( x_2 \) の値が 144 です。これを使って \( x_1 \) の値を計算します。
最適な消費計画では、第1財の消費量 \( x_1 \) は 36、第2財の消費量 \( x_2 \) は 144 となります。この配分により、予算180を使用して最大の効用を達成できます。
詳細の式展開
最適な消費計画を見つけるために、得られた関係 \(x_1 = 0.25x_2\) を予算制約式 \(x_1 + x_2 = 180\) に代入して、\(x_2\) の値を求めます。以下はその手順です。
代入:
まず、\(x_1 = 0.25x_2\) という関係を \(x_1 + x_2 = 180\) の式に代入します。
\[0.25x_2 + x_2 = 180\]
式を簡単化:
式を簡単化するために同じ項をまとめます。
\[1.25x_2 = 180\]
\(x_2\) を解く:
\(x_2\) について解くために、両辺を1.25で割ります。
\[x_2 = \frac{180}{1.25}\]
これを計算すると、\(x_2 = 144\) となります。
\(x_1\) の値を求める:
求めた \(x_2\) の値を \(x_1 = 0.25x_2\) に代入して、\(x_1\) の値を計算します。
\[x_1 = 0.25 \times 144\]
これを計算すると、\(x_1 = 36\) となります。
以上の手順により、\(x_1\) と \(x_2\) の値がそれぞれ 36と144と求められ、これが所定の予算制約の下での最適な消費計画となります。