効用関数の定義と展開
まず、効用関数は次のように定義されます。
\[ U = \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2} \]
これをさらに単純化して書くと、
\[ U = (x_1)^{1/2} \cdot (x_2)^{1/2} \]
偏微分の計算
\( x_1 \) に対する偏微分
1. チェーンルールの適用:
\[ \frac{\partial}{\partial x_1} \left[ (x_1)^{1/2} \cdot (x_2)^{1/2} \right] \]
ここで \( x_2 \) は \( x_1 \) に対して定数とみなされます。したがって、\( x_1 \) の部分を微分し、\( x_2 \) はそのまま残ります。
2. 計算過程:
\[ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1)^{1/2} = \frac{1}{2} x_1^{-1/2} \]
\( x_2^{1/2} \) はそのままですから、全体の偏微分は
\[ \frac{1}{2} x_1^{-1/2} \cdot x_2^{1/2} = \frac{0.5 \sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1}} \]
\( x_2 \) に対する偏微分
1. チェーンルールの適用:
\[ \frac{\partial}{\partial x_2} \left[ (x_1)^{1/2} \cdot (x_2)^{1/2} \right] \]
ここで \( x_1 \) は \( x_2 \) に対して定数とみなされます。したがって、\( x_2 \) の部分を微分し、\( x_1 \) はそのまま残ります。
2. 計算過程:
\[ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_2)^{1/2} = \frac{1}{2} x_2^{-1/2} \]
\( x_1^{1/2} \) はそのままですから、全体の偏微分は
\[ \frac{1}{2} x_2^{-1/2} \cdot x_1^{1/2} = \frac{0.5 \sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}} \]
偏微分の結果は次のとおりです。
- \( x_1 \) に対する偏微分: \(\frac{\partial U}{\partial x_1} = \frac{0.5 \sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1}}\)
- \( x_2 \) に対する偏微分: \(\frac{\partial U}{\partial x_2} = \frac{0.5 \sqrt{x_1}}{\sqrt{x_2}}\)
これらの計算は、各変数の平方根を取る操作に基づいており、それぞれの変数が効用に与える影響の度合いを示しています。