問8
微分方程式を解きます。
\begin{align*}
x^2\frac{dy}{dx}-y &= 0
y\frac{dx}{dy}&=x^2
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}&=\frac{1}{x^2}
\end{align*}
ここで，両辺をxで積分すれば，左辺がyについての積分，右辺がxについての積分となるので計算できます．
\begin{align*}
\int \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} dx &= \int \frac{1}{x^2} dx
\int \frac{1}{y}dy &= -\frac{1}{x}+C
\log|y| &= -\frac{1}{x}+C
y &= e^{-\frac{1}{x}+C}
&= Ce^{-\frac{1}{x}}
\end{align*}
最後の行では積分定数を定義し直しました．
\begin{align*}
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x} = 1-x^2
\end{align*}
方程式は標準型で書かれているため，関数P(x)およびQ(x)を決定します．
\begin{align*}
P(x) &= \frac{1}{x}
Q(x) &= 1-x^2
\end{align*}
ここで，関数P(x)を積分係数u(x)の式に入れます．
\begin{align*}
u(x) &= e^{\int P(x)dx}
&= e^{\int \frac{1}{x}dx}
&= e^{\log(x)}
&= x
\end{align*}
ここで，積分係数u(x)と関数Q(x)を一般解の式に入れます．
\begin{align*}
y &= \frac{1}{x}\int (1-x^2)x dx
&= \frac{1}{x}\int x-x^3 dx
&= \frac{1}{x}(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+C_1)
&= \frac{x}{2}-\frac{x^3}{4}+C_2\quad(C_2=\frac{C_1}{x})
\end{align*}
より，解を得ます．