第２問
(1)部分積分の公式を使います．
\begin{align}
\begin{aligned}
f(x) &= \int_{0}^{x}te^{-t}dt \\
&= [t(-e^{-t})]_{0}^x+\int_{0}^{x}e^{-t}dt \\
&= x(-e^{-x}) – 0(-e^{-0}) + [-e^{-t}]_{0}^x \\
&= -xe^{-x} + \{ -e^{-x} + e^0 \}\\
&= 1 – (1+x)e^{-x}
\end{aligned}
\end{align}
となります．
\begin{align}
\begin{aligned}
f(x) &= \int_{0}^{x}te^{-t}dt \\
&= [t(-e^{-t})]_{0}^x+\int_{0}^{x}e^{-t}dt \\
&= x(-e^{-x}) – 0(-e^{-0}) + [-e^{-t}]_{0}^x \\
&= -xe^{-x} + \{ -e^{-x} + e^0 \}\\
&= 1 – (1+x)e^{-x}
\end{aligned}
\end{align}
となります．
(2)(1)で得た値の極限を取ります．
\begin{align}
\label{limit}
\begin{aligned}
\lim_{x\to \infty}f(x) &= \lim_{x\to \infty}1 – (1+x)e^{-x}
\end{aligned}
\end{align}
(式)2-1
ここで，ロピタルの定理より第２項は，
\begin{align}
\lim_{x\to \infty}-(1+x)e^{-x} = -\lim_{x\to \infty}\frac{1}{e^x} = 0
\end{align}
となります．よって，(式)2-1）は，
\begin{align}
\lim_{x\to \infty}f(x) = \lim_{x\to \infty}1 – (1+x)e^{-x} = 1
\end{align}
となります．