順列と組み合わせ
順列と組み合わせは、異なるオブジェクトのグループから特定の数のオブジェクトを選択する方法を数えるために使用される数学的概念です。これらは特に、統計、確率論、および組み合わせ論で重要です。ここでは、これらの概念を分かりやすく説明します。
順列 (Permutation, nPr)
順列は、特定の数のオブジェクトを選んで一列に並べる方法の総数を表します。順列では、オブジェクトの順序が重要です。例えば、ABC と CBA は異なる順序とみなされます。
順列の計算式
\( nPr = \frac{n!}{(n-r)!} \)
ここで、n は総オブジェクト数、r は選択するオブジェクトの数、! は階乗を意味し、例えば 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 です。
例
\( 5P3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \)
組み合わせ (Combination, nCr)
組み合わせは、特定の数のオブジェクトを選択する方法の総数を表しますが、ここでは順序は考慮しません。例えば、オブジェクト ABC を選ぶ場合、ABC も CBA も同じ選択と見なされます。
組み合わせの計算式
\( nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
この公式で、nはグループ内の総オブジェクト数、rは選択するオブジェクトの数を表し、!は階乗を意味します。階乗とは、1からその数までの全ての自然数の積です。例えば、4!は4 × 3 × 2 × 1 = 24です。
例
例えば、5つの異なる本から3冊を選ぶ場合の組み合わせの数を計算してみましょう。
\( 5C3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{(6)(2)} = \frac{120}{12} = 10 \)
これは、5つの異なる本から3冊を選ぶ異なる組み合わせが10通りあることを意味します。