問題:
あなたは10冊の異なる本を持っています。これらの本から3冊を選んで友人にプレゼントすることにしました。あなたがこれらの本から3冊を選ぶ異なる方法は何通りありますか？
解答
この問題の解答は、10C3、つまり10個の異なるものから3個を選ぶ組み合わせの数を計算することによって求められます。公式は次のようになります。
まず、場合の数の組み合わせである \( nCr \) の公式を詳しく見ていきましょう。この公式は以下のようになります:
\[ nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]
ここで、\( n! \)（nの階乗）は、1からnまでのすべての整数の積を意味します。例えば、\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) です。
さて、問題の解答を計算してみましょう。問題では \( n = 10 \) と \( r = 3 \) ですので、10C3を計算します。これは以下のように展開できます:
\[ _{10}C_{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \times 7!} \]
ここで、10!、3!、7!を具体的に計算します:
– \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
– \( 3! = 3 \times 2 \times 1 \)
– \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
しかし、10!を計算する際に、7!の部分があるので、これを簡素化することができます。すなわち、10! = 10 × 9 × 8 × 7! として、7!の部分は約分することができます。よって、計算は以下のようになります:
\[ _{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \]
これを計算して、最終的な組み合わせの数を求めます。
\[ {}_{10}C_{3} = \frac{10!}{3! \times (10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120 \]
10冊の本から3冊を選ぶ異なる方法は合計で120通りとなります。このように、場合の数の組み合わせを計算する際には、nCrの公式を利用して、まずは分子と分母を展開し、可能な限り簡素化してから計算することが重要です。これにより、複雑な計算を避けることができます。