【東京大学公共政策大学院】2020年度院試試験の解答(経済学/ミクロ/問題4)

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問題4

 

家計の所得を$\sqrt{2}$倍すれば良いです.

消費者は次の効用最大化問題を解きます.
\begin{align}
\text{max}_{x,y}\quad x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\quad\text{s.t.}\quad x+y=8
\end{align}
限界代替率は,
\begin{align}
MRS_{xy}=\frac{\partial u/\partial x}{\partial u/\partial y}=\frac{y}{x}
\end{align}
となります.効用最大化条件より,
\begin{align}
MRS_{xy}&=\frac{p_1}{p_2}\\
\frac{y}{x}&=1\Leftrightarrow y=x
\end{align}
を得ます.これを予算制約式に代入して,
\begin{align}
2x=8\Leftrightarrow x=4
\end{align}
また,y=4を得る.この時の効用水準は,U=4である.価格変化後,消費者が解く効用最大化問題は以下のようになります.
\begin{align}
\text{max}_{x,y}\quad x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\quad\text{s.t.}\quad 2x+y=M
\end{align}
限界代替率は変わらないため,効用最大化条件より,
\begin{align}
MRS_{xy}&=\frac{p_1}{p_2}\\
\frac{y}{x}&=2\Leftrightarrow y=2x
\end{align}
を得ます.これを新しい予算制約式に代入して,
\begin{align}
2x+2x=M\Leftrightarrow x=\frac{M}{4}
\end{align}
より,y=$\frac{M}{2}$を得る.これらを効用関数に代入すると,U=4より,
\begin{align}
4 = \frac{\sqrt{M}}{2}\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow M=8\sqrt{2}
\end{align}
を得ることができます.よって,価格変化前の効用を維持する為には所得を$\sqrt{2}$倍する必要があります.