問題4
家計の所得を$\sqrt{2}$倍すれば良いです.
消費者は次の効用最大化問題を解きます．
\begin{align}
\text{max}_{x,y}\quad x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\quad\text{s.t.}\quad x+y=8
\end{align}
限界代替率は，
\begin{align}
MRS_{xy}=\frac{\partial u/\partial x}{\partial u/\partial y}=\frac{y}{x}
\end{align}
となります．効用最大化条件より，
\begin{align}
MRS_{xy}&=\frac{p_1}{p_2}\\
\frac{y}{x}&=1\Leftrightarrow y=x
\end{align}
を得ます．これを予算制約式に代入して，
\begin{align}
2x=8\Leftrightarrow x=4
\end{align}
また，y=4を得る．この時の効用水準は，U=4である．価格変化後，消費者が解く効用最大化問題は以下のようになります．
\begin{align}
\text{max}_{x,y}\quad x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}\quad\text{s.t.}\quad 2x+y=M
\end{align}
限界代替率は変わらないため，効用最大化条件より，
\begin{align}
MRS_{xy}&=\frac{p_1}{p_2}\\
\frac{y}{x}&=2\Leftrightarrow y=2x
\end{align}
を得ます．これを新しい予算制約式に代入して，
\begin{align}
2x+2x=M\Leftrightarrow x=\frac{M}{4}
\end{align}
より，y=$\frac{M}{2}$を得る．これらを効用関数に代入すると，U=4より，
\begin{align}
4 = \frac{\sqrt{M}}{2}\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow M=8\sqrt{2}
\end{align}
を得ることができます．よって，価格変化前の効用を維持する為には所得を$\sqrt{2}$倍する必要があります．