問題1
(1)労働所得を全て財の購入に充てるとすると，予算制約式は，
\begin{align}
Pc=Wl \Leftrightarrow c=\frac{W}{P}l
\end{align}
となります．
(2)代表的家計は次の効用最大化問題を解きます．
\begin{align}
\text{max}_{c,l}\quad \frac{c^{1-\rho}}{1-\rho}-\frac{l^{1+\eta}}{1+\eta} \quad\text{s.t.}\quad c=\frac{W}{P}l
\end{align}
ラグランジュ乗数を$\lambda$とすると，ラグランジュ関数$\mathcal{L}$は，
\begin{align}
\mathcal{L}=\frac{c^{1-\rho}}{1-\rho}-\frac{l^{1+\eta}}{1+\eta}+\lambda(c-\frac{W}{P}l)
\end{align}
となります．最大化の一階条件より，
\begin{align}
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}&=c^{-\rho}+\lambda =0\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial l}&=-l^{\eta}-\lambda\frac{W}{P}=0\\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}&=c-\frac{W}{P}l=0
\end{aligned}
\end{align}
を得ます．第一式と第二式より，$\lambda$を消去して，
\begin{align}
\begin{aligned}
-\frac{c^{-\rho}}{l^{\eta}}&=-\frac{P}{W}\\
\frac{1}{l^{\eta}c^{\rho}}&=\frac{P}{W}\\
c^{\rho}&=\frac{W}{Pl^{\eta}}\\
c&=(\frac{W}{Pl^{\eta}})^{\frac{1}{\rho}}
\end{aligned}
\end{align}
これを，予算制約式に代入して，
\begin{align*}
(\frac{W}{Pl^{\eta}})^{\frac{1}{\rho}}&=\frac{Wl}{P}\\
(\frac{W}{P})^{\frac{1}{\rho}}l^{-\frac{\eta}{\rho}}&=\frac{Wl}{P}\\
(\frac{W}{P})^{\frac{1-\rho}{\rho}}&=l^{1+\frac{\eta}{\rho}}\\
l&=(\frac{W}{P})^{\frac{1-\rho}{\rho}\frac{\rho}{\rho+\eta}}\\
l&=(\frac{W}{P})^{\frac{1-\rho}{\rho+\eta}}
\end{align*}
よって，労働供給関数は，$l=(\frac{W}{P})^{\frac{1-\rho}{\rho+\eta}}$です．
(3)労働供給弾力性は，$-\frac{dl}{dW}\frac{W}{l}$で与えられるので，労働供給関数より，
\begin{align}
\begin{aligned}
-\frac{dl}{dW}\frac{W}{l}&=-\frac{1-\rho}{\rho+\eta}(\frac{W}{P})^{\frac{1-2\rho-\eta}{\rho+\eta}}\frac{1}{P}W^{\frac{2\rho+\eta-1}{\rho+\eta}}P^{\frac{1-\rho}{\rho+\eta}}\\
&=-\frac{1-\rho}{\rho+\eta}W^{0}P^{0}\\
&=-\frac{1-\rho}{\rho+\eta}
\end{aligned}
\end{align}
となります．