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2022年度実施(2022/07/09)
問題1
A
A-1
寡占企業での分析となります。
(a)
企業1は次の利潤最大化問題を解きます．
\begin{align}
\text{max}_{q_1}\quad (1000-q_1-q_2-100)q_1\quad\quad(1)
\end{align}
利潤最大化の一階条件より，企業1の最適反応は，
\begin{align}
\label{q1}
1000-2q_1-q_2-100=0 \Leftrightarrow \text{BR}_1(q_2)=q_1=\frac{900-q_2}{2}\quad\quad(2)
\end{align}
となります．
\text{max}_{q_1}\quad (1000-q_1-q_2-100)q_1\quad\quad(1)
\end{align}
利潤最大化の一階条件より，企業1の最適反応は，
\begin{align}
\label{q1}
1000-2q_1-q_2-100=0 \Leftrightarrow \text{BR}_1(q_2)=q_1=\frac{900-q_2}{2}\quad\quad(2)
\end{align}
となります．
企業２についても同様に，次の利潤最大化問題を解きます．
\begin{align}
\text{max}_{q_2}\quad (1000-q_1-q_2-100)q_2\quad\quad(3)
\end{align}
利潤最大化の一階条件より，企業2の最適反応は，
\begin{align}
\label{q2}
1000-q_1-2q_2-100=0 \Leftrightarrow \text{BR}_2(q_1)=q_2=\frac{900-q_1}{2}\quad\quad(4)
\end{align}
となります．式(4)を式(2)に代入して，
\begin{align}
\begin{aligned}
q_1=450-\frac{900-q_1}{4}=450-225+\frac{q_1}{4}
\frac{3}{4}q_1=225 \Leftrightarrow q_1=300\quad\quad(4)
\end{aligned}
\end{align}
\begin{align}
\text{max}_{q_2}\quad (1000-q_1-q_2-100)q_2\quad\quad(3)
\end{align}
利潤最大化の一階条件より，企業2の最適反応は，
\begin{align}
\label{q2}
1000-q_1-2q_2-100=0 \Leftrightarrow \text{BR}_2(q_1)=q_2=\frac{900-q_1}{2}\quad\quad(4)
\end{align}
となります．式(4)を式(2)に代入して，
\begin{align}
\begin{aligned}
q_1=450-\frac{900-q_1}{4}=450-225+\frac{q_1}{4}
\frac{3}{4}q_1=225 \Leftrightarrow q_1=300\quad\quad(4)
\end{aligned}
\end{align}
を得ます．これを式(4)に代入すると，$q_2=300$となります．
以上より，クールノーナッシュ均衡の生産量の組み合わせは，$(q_1,q_2)=(300,300)$です．
(b)
生産量の上限制約がない時の最適な生産量は$q_1=300$なので，与えられた制限の中で利潤を最大にするのは，$q_1=200$です．
企業1に生産量の上限があることは企業2も知っているため，これを企業2の最適反応であす，式(4)に代入すると，
\begin{align}
q_2=\frac{900-200}{2}=350\quad\quad(6)
\end{align}
となります．よって，この時のクールノーナッシュ均衡での生産量の組み合わせは，$(q_1,q_2)=(200,350)$です．
(c)
企業1のタイプがUnconstrainedの時の企業1,2の利潤を求めます．
$(q_1,q_2)=(300,300)$なので，市場価格は$p=1000-600=400$となります．
企業1の利潤は，
\begin{align}
\text{$\pi_1$}=(400-100)300 = 90000
\end{align}
となります．企業2も同様に，
\begin{align}
\text{$\pi_2$}=(400-100)300 = 90000
\end{align}
\text{$\pi_1$}=(400-100)300 = 90000
\end{align}
となります．企業2も同様に，
\begin{align}
\text{$\pi_2$}=(400-100)300 = 90000
\end{align}
となります．
また，企業1のタイプがBoundedの時の企業1,2の利潤を求めます．$(q_1,q_2)=(200,350)$なので，市場価格は，$p=1000-200-350=450$となります．
企業1の利潤は，
\begin{align}
\text{$\pi_1$}=(450-100)200 = 70000
\end{align}
となります．企業2も同様に，
\begin{align}
\text{$\pi_2$}=(450-100)350 = 92500
\end{align}
\text{$\pi_1$}=(450-100)200 = 70000
\end{align}
となります．企業2も同様に，
\begin{align}
\text{$\pi_2$}=(450-100)350 = 92500
\end{align}
となります．
企業1の取りうる戦略の集合は，$S_1=\{300,200\}$で,
企業2のとりうる戦略の集合は，$S_2=\{300,350\}$です．