問題1
(1)消費者iの限界代替率$MRS_i$は，
\begin{align}
MRS_i = \frac{\partial u_i/\partial x_i}{\partial u_i/\partial y_i} = \frac{y_i}{x_i}\quad\quad(1)
\end{align}
となります．内点解において，パレート効率的であるための条件は，
\begin{align}
MRS_A &= MRS_B\quad\quad(2)\\
\frac{y_A}{x_A} &= \frac{y_B}{x_B}\quad\quad(3)
\end{align}
です．端点解においては，
どちらかの効用をあげようとすると必ずもう片方の効用が下がってしまうので，
$(x_A,y_A,x_B,y_B)=\{(10,10,0,0),(0,0,10,10)\}$はパレート効率的です．
(2)各消費者の二財についての初期保有量をそれぞれ，$(\bar{x}_i,\bar{y}_i)$で表します．このとき，消費者iは次の効用最大化問題を解きます．
\begin{align}
\begin{aligned}
\text{max}_{x_i,y_i}\quad x_iy_i\quad\text{s.t.}\quad px_i+y_i = p\bar{x_i}+\bar{y_i}\quad\quad(4)
\end{aligned}
\end{align}
ラグランジュ乗数を$\lambda$とすると，ラグランジュ関数Lは，
\begin{align}
\begin{aligned}
L = x_iy_i+\lambda(p\bar{x_i}+\bar{y_i}-px_i-y_i)\quad\quad(5)
\end{aligned}
\end{align}
となる．最大化の一階条件は以下の通りです．
\begin{align}
\label{FOC}
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial x_i}&=y_i-\lambda p=0\\
\frac{\partial L}{\partial y_i}&=x_i-\lambda=0\quad\quad(6)\\
\frac{\partial L}{\partial \lambda}&=p\bar{x_i}+\bar{y_i}-px_i-y_i=0
\end{aligned}
\end{align}
第一式と第二式より，$\lambda$を消去して，
\begin{align}
\label{MRS}
\frac{y_i}{x_i}=p \Leftrightarrow y_i=px_i\quad\quad(7)
\end{align}
を得る．式（7）を式（6）の第三式に代入して，
\begin{align}
\label{x_demand}
\begin{aligned}
p\bar{x_i}+\bar{y_i} &= 2px_i\\
x_i &= \frac{p\bar{x_i}+\bar{y_i}}{2p}\quad\quad(8)
\end{aligned}
\end{align}
を得ます．これを式（7）に代入して，
\begin{align}
y_i = \frac{p\bar{x_i}+\bar{y_i}}{2}\quad\quad(9)
\end{align}
を得ます．ここで，$(\bar{x}_A,\bar{y}_A,\bar{x}_B,\bar{y}_B)=(2,8,8,2)$を
式(\ref{x_demand})に代入して，各消費者について，財xの需要関数を求めます．
\begin{align}
\begin{aligned}
x_A &= \frac{2p+8}{2p} = 1+\frac{4}{p}\\
x_B &= \frac{8p+2}{2p} = 4+\frac{1}{p}\quad\quad(10)
\end{aligned}
\end{align}
(3)各消費者について，財yの需要関数は，
\begin{align}
\label{y_demand}
\begin{aligned}
y_A &= \frac{2p+8}{2} = p+4\\
y_B &= \frac{8p+2}{2} = 4p+1\quad\quad(11)
\end{aligned}
\end{align}
となります．競争均衡では，各消費者の財に対する需要と
供給(初期保有量の合計)が等しいので，
\begin{align}
y_A+y_B &= \bar{y}_A+\bar{y}_B\quad\quad(12)\\
5p+5 &= 10 \Leftrightarrow p = 1\quad\quad(13)
\end{align}
となります．p=1を式（8），式（11）に代入すれば，
均衡で実現する配分は，$(x_A,y_A,x_B,y_B)=(5,5,5,5)$です．
このとき，内点解においてパレート効率的であるための条件，
\begin{align}
\frac{y_A}{x_A} &= \frac{y_B}{x_B} \Leftrightarrow 1=1\quad\quad(14)
\end{align}
を満たします．よって，競争均衡で実現する配分はパレート効率的です．