問題３
\begin{equation}
\label{IS}
Y = C(Y-T)+I(r)+G+NCO(r-r^*)……(1)
\end{equation}
になります．3. 全微分とは，それぞれの関数を引数で偏微分した後に，微小な変化分をかけて，それぞれを足したものになります．また，内生変数と外生変数に注意する必要すると，
IS曲線の全微分型は以下の通りになります．
\begin{align}
\label{IS_total_derivative}
dY &= \frac{\partial Y}{\partial C}dC+\frac{\partial Y}{\partial I}dI+\frac{\partial Y}{\partial NX}d\varepsilon……(2)\\
&= C’dC + I’dI + NX’d\varepsilon……(3)
\end{align}
4. 仮定より，$NCO'<0$である．これについて外国の実質利子率$r^*$が上昇すると， \begin{align} NCO’ > 0 ……(4)\\
\Rightarrow NX’>0 ……(5)
\end{align}
となる．よって，$dY > 0$となるため同じ国内利子率の元でも
国内総生産が上昇するためにIS曲線が右方にシフトする．
5. LM曲線を導出するのに必要な式は，貨幣市場を考慮する必要があるので，(2),(4)です．
6. LM曲線は貨幣市場の均衡を表す式なので，(2)より，
\begin{equation}
\frac{M}{P}=L(i,Y)……(6)
\end{equation}
である．
7. Mは外生変数であることに注意してLM曲線を全微分する．
\begin{align}
-\frac{M}{P^2}dP &= \frac{\partial L}{\partial i}di + \frac{\partial L}{\partial Y}dY……(7)\\
-\frac{M}{P^2}dP &= L_idi + L_YdY……(8)
\end{align}
ここで，（4）より，$di = dr + d\pi^e$であるが，
ここでは期待物価上昇率は外生変数なので，$di = dr$が成立する．
よって，$dr$で始まる全微分型は，
\begin{equation}
\label{LM-derivative}
L_idr = -\frac{M}{P^2}dP-L_YdY\Leftrightarrow dr = \frac{-\frac{M}{P^2}dP-L_YdY}{L_i}……(9)
\end{equation}
となる．
8. ここで，期待物価上昇率が上昇（$d\pi^e>0$）すると，
$di = dr + d\pi^e$より，$dr=di-d\pi^e\Rightarrow dr <0$となる．
この時，式(9)よりLM曲線が同じ国内総生産に対して
より低い実質利子率で均衡することになる．よって，LM曲線が下方にシフトする．
9. 外国為替市場の均衡条件を表す式は，(3)です．
10. 総需要曲線を導出するのに必要な式は，
財市場と貨幣市場を考慮する必要があるので(1),(2),(3),(4)になります．
11. 総供給曲線を導出数のに必要な式は，
短期の場合を考えている(6)と，長期の総供給を考えている(7)の2つです．
12. $P^e=P$は，期待物価水準が現在の物価水準と等しいことを意味するので，
長期の経済であることを意味します．また，貨幣需要が所得に比例し，
国際的な資本移動が存在しないことを$L(i,Y)=\frac{1}{V}Y,NCO(r-r^*)=0$で示されています．
この場合，古典派の閉鎖経済であるので答えは(a)になります．
13. $\alpha$が無限大であるとき，短期の総供給曲線が水平になります．
また，$NCO(r-r^*)=0$より閉鎖経済になっています．
これは，閉鎖経済のIS-LMモデルを意味するので，答えは(d)になります．