2022年度(2021年実施)
問題1
別解
【横浜国立大学経済学部】2022年度(2021年実施)編入試験 – 解答、経済学Ⅱ問題1
(1)
問題文より,消費量$(x_1,x_2)$価格$(P_1,P_2)$所得(I),
消費者の効用関数は$u(x_1,x_2)=x_1^2x_2$であることが分かります.
ここから,予算制約線は$x_1P_1+x_2P_2=I$と導けます.
上記を整理して以下の条件式を立式します.
$$Max\quad u(x_1,x_2)=x_1^2x_2 \qquad s.t.\quad x_1P_1+x_2P_2=I$$
消費者の各財の需要量は,価格理論に基づいて,
2つの財の限界代替率(MRS)が価格比に等しくなるという性質を用います.
MRSは$\frac{\frac{\partial u}{\partial x_1}}{\frac{\partial u}{\partial x_2}}$で求まるので,計算をすると
$MRS_{12}=\frac{2x_2}{x_1}$となり,
これが価格比と等しくなるので$\frac{2x_2}{x_1}$=$\frac{P_1}{P_2}$となります.
例えば,$\frac{2x_2}{x_1}$=$\frac{P_1}{P_2}$
を書き換えて,${x_2}$=$\frac{x_1P_1}{2P_2}$とし,これを$x_1P_1+x_2P_2=I$の予算制約式に代入して整理すれば,${x_1^*}$=$\frac{2I}{3P_1}$が導けます.
同様に${x_1}$も計算すれば,${x_2^*}$=$\frac{I}{3P_2}$が求まります.
よって,答えは$(x_1^*,x_2^*)$=($\frac{2I}{3P_1}$,$\frac{I}{3P_2}$)です.
(2)
$x_1^*$の価格弾力性($\varepsilon_{p_1}$)を求める式は
$$\varepsilon_{p_1}=\frac{\Delta x_1 / x_1}{\Delta P_1 / P_1} \times(-1) =\frac{\Delta x_1}{\Delta P_1} \times \frac{P_1}{x_1} \times(-1)$$です.
$\frac{\Delta x_1}{\Delta P_1}$の部分は,$(x_1^*)$=($\frac{2I}{3P_1}$)
が(1)より求まっていますので,これを$p_1$で微分すれば良いです.
よって,$\frac{\Delta x_1}{\Delta P_1}$=-$\frac{2I}{3p_1^2}$になります.
これに,($\frac{P_1}{x_1} \times(-1)$)をかけて,$\varepsilon_{p_1}=(\frac{2I}{3P_1x_1})$となります.
よって,需要の価格弾力性は$\frac{2I}{3P_1x_1}$です.
(3)
新しく与えられた効用関数,$v\left(x_1, x_2\right)=2 \log x_1+\log x_2$について考ましょう.
この効用関数のMRSは,MRS=$\frac{\frac{\partial u}{\partial x_1}}{\frac{\partial u}{\partial x_2}}$より,$MRS_{12}=\frac{2x_2}{x_1}$となります.
これは,最初に与えられた効用関数$u(x_1,x_2)=x_1^2x_2$のMRSと等しくなります.
MRSが等しいということは,パレート効率的な配分やワルラス均衡に影響を及ぼさないということなので,(1)で求めた需要量と等しくなります.
問題2
別解【横浜国立大学経済学部】2022年度(2021年実施)編入試験 – 解答、経済学Ⅱ問題2
(1)
完備情報の静学ゲームとして定式化するのに必要な3つの要素は非協力,静学,完備情報のです.すなわち,プレイヤーたちの間に拘束的な合意は成立せず（非協力）、それぞれのプレイヤーは意思決定を行う際に他のプレイヤーたちが行った意思決定を事前に観察できず（静学）、なおかつゲームのルールはプレイヤーたちにとって共有知識である（完備情報）状態のことを指します.
(2)
ナッシュ均衡とは,相手の行動を固定した際に,自分だけ利得を変えても得をしない戦略です.
(3)
Aさんにとっての財の価値$V_1$は150,Bさんにとっての財の価値$V_2$は250であるので,そこから各入札額(100,200,300,400)を引いた値が利得となります(問題文より,入札額が同じ場合は,期待利得はその値の半分になります).
それを踏まえて最適反応に下線を引き,利得表を作成すると,以下のようになります.
よって,純粋戦略ナッシュ均衡は(100,200), (100,300), (100,400), (200,300), (200,400), (300,100), (400,100)となります.
問題3
別解【横浜国立大学経済学部】2022年度(2021年実施)編入試験 – 解答、経済学Ⅱ問題3
(1)
民間消費関数$C=c_0+c_1(Y-T)$
租税関数$T=t_0+t_1 Y$
総需要関数$A=C+I+G$
財市場の均衡$A=Y$
(a)
何も需要がない場合はの消費量(税支出を考慮した固定消費（？）).
(b)
税率$t_1$の引き上げが均衡所得に与える効果$(\frac{dY^*}{dt_1})$を求める.
最初に上の4つの式をまとめる.そうすると,$A=Y$より,$Y=C+I+G$.これに,$C=c_0+c_1(Y-T)$と$T=t_0+t_1 Y$を代入して,$Y=c_0+c_1(Y-(t_0+t_1))+I+G$が導ける.
この式を,左辺にYだけが来るように整理をして,$t_1$で微分($(\frac{dY^*}{dt_1})$)すれば良い.
整理をすると,$Y=(\frac{c_0+c_1 t_0 +I+G}{1-c_1+ t_1 c_1})$
よって,$(\frac{dY^*}{dt_1})$=(-$(\frac{c_0-c_1 t_0+I+G}{1-c_1+t_1)^2}))$となり,税率$t_0$の引き上げが均衡所得に与える効果はマイナスとなる.
(c)
税率$t_0$の引き上げが均衡所得に与える効果$(\frac{dY^*}{dt_0})$を求める.
上問より,$Y=(\frac{c_0+c_1 t_0 +I+G}{1-c_1+ t_1 c_1})$が求まっているので,この式を$t_0$で微分($(\frac{dY^*}{dt_0})$)すれば良い.
よって,$(\frac{dY^*}{dt_0})$=$(-(\frac{c_1}{1-c_1+t_1}))$となり,税率$t_1$の引き上げが均衡所得に与える効果はマイナスとなる.
(d)
税率$t_1$の引き上げと税率$t_0$の引き下げを同時に行い,均衡所得を一定に保つ政策を考えます.この時,税率$t_1$の引き上げに対して必要になる$t_0$の引き下げ率$(\frac{dt_0}{dt_1})$は,$(\frac{dt_0}{dt_1})=1$になれば良いです.
すなわち,$(\frac{dt_0}{dt_1})=1$が答えとなります.
(e)
$Y^*=c^*+I+G$において,$Y^*,C^*$は一定より,$T^*$は一定です.よって,$dC^*=0$となります.
(f)
$C^*=c_0+c_1(Y^*-T^*)$について$Y^*,c^*$は一定なので,$T^*$は一定である.よって,$dT^*=0$になります.
(g)
$S^*=Y^*-T^*-C^*$について,$Y^*,T^*,C^*$は一定より,$S^*$は一定です.よって,$dS^*=0$になります.